4. Metodologia d'elaboració de la taula simètrica

El marc input-output d'una economia ve definit per tres tipologies de taules que recullen les principals dades macroeconòmiques: la taula d'origen, les taules de destinació i la taula simètrica.

En relació amb les dues primeres, les matrius d'origen i de destinació ofereixen informació descriptiva de les relacions intersectorials i amb l'exterior d'una economia.

No obstant això, una de les seves aplicacions més rellevants és permetre l'elaboració de la taula simètrica, eina fonamental per a l'anàlisi econòmica d'impacte econòmic, de productivitat, energètic o ambiental, entre d'altres.

La construcció de la taula simètrica constitueix un procés estadístic que implica un canvi substancial d'enfocament, ja que passa d'emprar matrius que relacionen branques d'activitat amb els respectius productes a emprar una única matriu que relaciona productes amb productes o bé branques d'activitat amb branques d'activitat. Així reflecteix les funcions de producció dels béns i serveis d'una economia a partir de tots els outputs.

D'aquesta manera, la taula simètrica reprodueix en una mateixa taula l'equilibri oferta-demanda d'una economia, ja que l'oferta total a preus bàsics per producte (vector fila) és igual a la demanda total a preus bàsics per producte (vector columna).

4.1. Novetats metodològiques i estadístiques

Elaborar la taula simètrica d'una economia implica reordenar la informació de produccions principals i secundàries continguda a la taula d'origen i dels usos o consums intermedis de les taules de destinació, a preus bàsics, en una matriu que relaciona productes amb productes o branques d'activitat amb branques d'activitat en outputs homogenis.

Aquest procés constructiu requereix passar per diverses etapes que garanteixen un resultat final consistent i econòmicament coherent en relació amb les magnituds contingudes a la taula.

L'estructura general d'una matriu simètrica permet reconstruir les funcions de producció de cadascun dels productes o de les branques d'activitat, segons si es tracta d'una taula per productes o per indústries.

Així, la taula simètrica recull els consums intermedis que s'utilitzen en la producció de cada bé o servei de l'economia (en unitats de producció homogènies), així com els usos finals, de manera que els usos totals queden resumits en un vector columna que agrupa diferents components.

Convé assenyalar que el quadrant de consums intermedis defineix una matriu quadrada, en el sentit que el nombre de files coincideix amb el nombre de columnes.

D'altra banda, la matriu recull també la informació del valor afegit i els inputs primaris que s'han emprat en l'obtenció de cada producte o en la producció de cada branca d'activitat.

A més, la informació continguda en aquesta taula permet distingir entre la producció domèstica i les importacions, de manera que l'oferta total de cada bé o branca d'activitat queda recollida en un vector fila.

Així doncs, es reprodueix l'equilibri oferta-demanda, ja que la matriu simètrica sintetitza l'equilibri entre el total dels usos i dels recursos d'una economia.

En tot cas, un cop es disposa de la informació necessària per construir les taules d'origen i de destinació a preus bàsics, hi ha quatre etapes fonamentals a considerar per poder-les transformar en la matriu simètrica:

1. La primera etapa consisteix a seleccionar la tipologia de matriu simètrica que es vol construir, i que pot ser una taula per productes o bé per branques d'activitat.

   En el primer dels supòsits, la matriu simètrica relacionarà unitats homogènies de producte, de manera que per a cadascun dels outputs de l'economia es disposarà de la seva funció de producció en termes del consum dels productes que genera l'economia. En canvi, construir una taula simètrica per branques d'activitat implicarà disposar de la funció de producció de cadascuna d'elles en funció del consum que fa de les produccions de totes les branques d'activitat.

   Com es veurà més endavant, la selecció d'una o altra opció té implicacions més enllà de l'interès teòric que pugui tenir cadascuna d'aquestes construccions.

2. En la segona etapa, és imprescindible definir el nivell d'agregació dels productes o branques que es consideraran en la matriu simètrica.

   La definició de les produccions o branques que es dugui a terme no és un aspecte neutral i incidirà de forma determinant en els resultats finals que es puguin obtenir.

   Així, un elevat nivell d'agregació de les dades simplifica considerablement els càlculs a realitzar, però resta interès a la interpretació econòmica dels resultats.

   Contràriament, un nivell de detall molt elevat dificultaria la construcció de la matriu simètrica, malgrat que seria més interessant des de la perspectiva econòmica.

3. En una tercera etapa, cal reassignar les produccions secundàries de cada branca d'activitat en la taula d'origen cap a les branques on aquestes constitueixen la producció principal.

   D'aquesta manera, s'han de desplaçar les produccions secundàries que apareixen fora de la diagonal de la taula d'origen a aquesta, dins la branca que produeix de forma natural aquest producte.

   Es tracta d'un exercici que s'ha de realitzar amb cura, ja que, com assenyala Eurostat (2008), hi ha diferents tipologies de produccions secundàries (subsidiary products, by-products i joint products en la terminologia d'Eurostat) segons la seva relació amb el procés de producció principal i, per tant, es requeriran aproximacions diferents per dur a terme aquestes reassignacions.

4. Finalment, l'ajustament realitzat en l'etapa anterior amb les produccions secundàries de cada branca en la taula d'origen fa necessària la reassignació dels consums intermedis emprats per a la producció d'aquests béns a les branques corresponents.

   El SEC indica que la transferència s'hauria de realitzar mitjançant la utilització d'informació estadística i tècnica complementària, si bé en aquells casos en què aquesta no existeixi o sigui insuficient és possible establir hipòtesis sobre la tecnologia de producció (en les matrius per productes) o sobre l'estructura de vendes de les branques d'activitat (en les matrius que relacionen branques) que permetin dur a terme aquestes transferències garantint la robustesa dels resultats finals.

   L'establiment de les referides hipòtesis no és neutral i depèn en bona mesura de les tipologies de produccions secundàries reassignades.

   En general, l'alternativa emprada sol combinar l'aplicació de diverses hipòtesis, en el marc del que es coneix com a mètode híbrid, descrit més endavant.

Seguidament es detallen els aspectes metodològics més rellevants d'aquestes etapes de construcció de la matriu simètrica d'una economia.

4.2. Tipologia de taules simètriques

Un primer aspecte a considerar en la construcció de la taula simètrica d'un marc input-output és la decisió de la tipologia d'informació que s'hi vol recollir.

Tenint present que la informació de partida per a la construcció d'aquesta taula són les taules d'origen i de destinació a preus bàsics (que recullen les relacions entre les branques d'activitat i les produccions), les dues opcions possibles de construcció de la taula simètrica d'una economia són: d'una banda, la que reflecteix la relació entre produccions dels sectors productius i, de l'altra, la que recull la funció de producció de cada bé o servei respecte dels béns i serveis de l'economia.

Les taules producte per producte són teòricament més homogènies en la descripció dels fluxos que composen una economia. Per aquest motiu, a la pràctica són més adequades per a la major part de les anàlisis input-output que es vulguin dur a terme.

Per això, ja des del SEC 95 es va considerar que les taules producte per producte eren les més adients per a l'anàlisi econòmica. Per tant, es van adoptar com el mètode preferent en la construcció del marc input-output de les economies europees.

No obstant això, convé tenir present que les taules que defineixen les relacions entre branques d'activitat són més properes a les fonts estadístiques existents, de les quals s'han nodrit les taules d'origen i de destinació d'un marc input-output.

En el cas del MIOC-2011, s'ha optat per la construcció d'una matriu simètrica producte per producte; és a dir, per la construcció de taules que descriuen les relacions tecnològiques entre productes homogenis.

Els outputs homogenis són unitats dissenyades per a l'anàlisi econòmica, de manera que no es poden observar de forma directa.

Aquestes branques agrupen unitats que es caracteritzen per exercir un únic tipus d'activitat identificat pels seus inputs, el seu procés de producció i el seu output, de manera que cada columna de la taula simètrica representa les estructures de costos de cada producte.

4.3. Qüestions metodològiques en la construcció de taules simètriques

Independentment de la tipologia de taula simètrica per la qual s'hagi optat (producte per producte o branca per branca), en la construcció cap prendre tres decisions addicionals, que determinaran el resultat final:

1. La definició dels productes homogenis que recollirà la taula
2. El procediment a seguir per reassignar les produccions secundàries
3. El mètode de redistribució dels consums intermedis

En relació amb el primer dels elements, és important tenir present que el nivell de detall que es determini per a les branques considerades en la construcció del marc input-output condicionarà els resultats que es poden derivar posteriorment de l'anàlisi d'impactes a partir de la taula simètrica.

Pel que fa al tractament aplicat a les produccions secundàries, i d'acord amb el que ja s'ha esmentat anteriorment, la construcció de la matriu simètrica d'un marc input-output requereix transferir les produccions secundàries de cada branca d'activitat a aquella branca d'on són la producció principal.

Així doncs, es tracta d'eliminar les produccions secundàries que apareixen fora de la diagonal principal de la taula d'origen per incorporar-les en els sectors corresponents d'aquesta. Així, s'acabarà obtenint una matriu de produccions de branques homogènies que serà una matriu diagonal.

Tot i ser un exercici aparentment senzill, convé tenir present que aquesta transferència d'outputs secundaris té conseqüències en l'assignació dels consums intermedis emprats en l'activitat productiva de cadascuna de les branques d'activitat, perquè aquests consums intermedis s'hauran de reassignar adientment per obtenir la matriu simètrica.

Precisament, aquesta és l'etapa més complexa de l'elaboració de la taula simètrica, ja que requereix disposar d'informació sobre els inputs associats a la producció de cadascun d'aquests béns i serveis produïts de forma secundària, i aquesta informació sovint no està disponible o bé és difícil d'obtenir.

A més, la relació tecnològica de les produccions secundàries amb l'output principal de cada branca pot ser més gran o més petita, fet que dificulta encara més el procés de transferència.

En aquest sentit, convé tenir present les classificacions en tres grups de produccions secundàries que defineix l'Eurostat per a la construcció de taules input-output, formulada prèviament per la Comissió Europea i les Nacions Unides (2000), i que comprèn les següents tipologies d'outputs:

• Subsidiary products: Produccions secundàries que no tenen cap relació tecnològica amb l'output primari de la branca d'activitat. Per exemple, l'obtenció de productes carnis per part de la branca de serveis socials, ja que la tecnologia de producció d'ambdues branques és considerablement diferent.
• By-products: Productes que es generen simultàniament amb un altre output com a resultat del procés de producció d'aquest últim, del qual es poden considerar produccions secundàries. La generació de gas en l'activitat siderúrgica en seria un bon exemple.
• Joint products: Productes que es generen simultàniament amb un altre output, però que no es poden considerar produccions secundàries d'aquest últim. Per exemple, la generació de materials propis de la indústria de pell i cuir feta per la branca ramadera.

En general, és difícil trobar casos en què una producció secundària encaixi de manera exacta en un d'aquests grups i sovint ens trobem davant de situacions en què hi haurà costos comuns i altres costos, que es podran atribuir als diferents productes obtinguts.

Així mateix, convé tenir present que en general el pes de les produccions secundàries de les branques d'activitat és relativament baix.

Tenint en consideració les diferents tipologies de produccions secundàries, la transferència dels consums intermedis entre branques sol requerir l'establiment d'hipòtesis que permetin realitzar les transferències respectant la coherència econòmica de les dades.

Aquests supòsits tenen relació amb la tecnologia de producció de cada bé o servei, en el cas de les matrius producte per producte, i amb l'estructura fixa de vendes de cada branca, en el cas de les matrius que relacionen branques d'activitat.

Així, es poden definir quatre mètodes estàndard per derivar les taules simètriques en un marc input-output, que són:

1. La hipòtesi de tecnologia de producte. És el mètode emprat més freqüentment per derivar taules simètriques producte per producte.

   Sota aquesta hipòtesi es considera que tots els productes d'un grup de béns o serveis tenen la mateixa estructura d'inputs, amb independència de quina sigui la branca d'activitat que el produeixi.

   La proposta de caracterització de Kop Jansen i Ten Raa (1990) per construir taules input-output producte per producte va ser adoptada per les Nacions Unides (1993) en ser considerada com a tècnicament superior per l'adequació als axiomes desitjables, com són l'equilibri material i financer i la invariància davant canvis d'escala i de preus.

   En el mateix sentit, Eurostat (2008) adopta aquest criteri, tot i reconèixer les febleses que presenta, que principalment es concentren en l'obtenció de valors negatius en la matriu resultant que requeriran tractaments tècnics i estadístics posteriors.

   En tot cas, la tecnologia de producte sembla l'aproximació mes adequada per al tractament de les reassignacions de produccions secundàries no relacionades tecnològicament amb les produccions principals de cada branca (subsidiary products).

2. La hipòtesi de tecnologia de branca. És l'altre mètode disponible per realitzar la transferència de produccions secundàries en la construcció de taules simètriques input-output producte per producte.

   Sota aquesta hipòtesi es considera que cada branca d'activitat té la seva forma pròpia de produir els béns i serveis, amb independència de quins siguin aquests.

   L'aplicació d'aquest mètode té l'avantatge que, per construcció, no és possible obtenir valors negatius en la matriu resultant, però en canvi poden aparèixer consums intermedis poc coherents.

   Malgrat tot, la hipòtesi de tecnologia de branca constituiria l'aproximació mes adient per tractar les produccions secundàries relacionades tecnològicament amb el producte principal de cada branca (by-products i joint products).

3. La hipòtesi d'estructures fixes de vendes de les branques. En les matrius simètriques input-output definides branca per branca, la transferència d'inputs i outputs es fa per files, imposant una condició en l'estructura de vendes de cada indústria.

   Una possibilitat per dur a terme aquest exercici és el d'aquesta hipòtesi, on cada branca té la seva estructura pròpia de vendes, amb independència de la combinació de productes d'aquesta.

4. La hipòtesi d'estructures fixes de vendes dels productes. L'alternativa a l'anterior supòsit en el marc de taules simètriques input-output branca per branca consisteix a suposar que cada producte té la seva estructura específica de vendes, amb independència de la branca d'activitat que l'hagi produït.

4.4. El mètode híbrid per a la construcció matrius simètriques

L'establiment d'hipòtesis de la tecnologia de producció dels diferents outputs d'una economia en la construcció de les taules simètriques input-output producte per producte depèn de les característiques intrínseques dels outputs i branques d'activitat d'una economia.

Així, l'aplicació d'una mateixa hipòtesi per a tots els productes podria donar lloc a resultats poc versemblants en termes econòmics.

A més, en cas d'adoptar el supòsit de tecnologia de producte, podria derivar en valors negatius en la matriu simètrica resultant, fet que faria necessari corregir cadascun d'aquests valors.

Per superar aquestes dificultats una alternativa seria adoptar una aproximació mixta entre la hipòtesi de tecnologia de producte i la de branca, en funció del tipus de producció secundària a reassignar.

Això donaria lloc a l'anomenat mètode mixt o híbrid en la terminologia SEC. La forma clàssica d'aplicar aquesta metodologia seria dividint la taula d'origen en dues parts:

1. La primera part contindria les produccions principals i les secundàries no relacionades tecnològicament amb les primeres (subsidiary products), en què s'aplicaria la hipòtesi de tecnologia de producte.
2. La segona part contindria les produccions secundàries vinculades tecnològicament a la producció principal de cada branca d'activitat (by-products i joint products), en què s'aplicaria la hipòtesi de tecnologia de branca.

Des d'un punt de vista pràctic, l'aplicació d'aquest mètode mixt requereix la construcció d'una matriu híbrida quadrada (amb tantes columnes i files com productes s'hagin considerat en la construcció del marc input-output), que recollirà la informació sobre el tipus de tecnologia a aplicar per a cadascun dels productes. (Per a una descripció detallada del procediment matemàtic emprat per al càlcul de la matriu híbrida vegeu l'apartat 4.8.)

En general, l'elecció de la hipòtesi tecnològica aplicable a cada bé o servei l'han duta a terme els experts amb criteris tècnics establerts ad hoc segons la informació econòmica i el coneixement de l'activitat productiva.

No obstant això, recentment han sorgit altres aproximacions més objectives per facilitar el procés d'elecció de les hipòtesis tecnològiques, com, per exemple, el mètode economètric de Rueda-Cantuche i Ten Raa (2013).

Fora del vessant acadèmic, aquest mètode ha estat emprat per primer cop en l'estadística oficial per l'Idescat per elaborar la matriu simètrica input-output en el MIOC-2011, ja que afegeix un criteri objectiu per determinar la versemblança de les hipòtesis tecnològiques i contribueix, en conseqüència, a reduir considerablement la discrecionalitat de l'elecció.

En aquest punt, convé assenyalar que l'ús combinat d'ambdues hipòtesis tecnològiques minimitza els inconvenients derivats de l'aplicació de cadascuna d'elles per separat, per bé que no els elimina completament.

4.5. La taula simètrica en el MIOC-2011

• 4.5.1. Tractament específic de les branques de provisió mixta
• 4.5.2. La construcció de la matriu híbrida

El procés de construcció de la taula simètrica en el MIOC-2011 s'ha dut a terme seguint les etapes i recomanacions d'Eurostat (2008), anteriorment descrites.

Així, s'ha optat per la construcció d'una taula simètrica producte per producte que conté una part central on s'expliciten les unitats de cada bé o servei que són necessàries per produir una unitat de cadascun dels 82 tipus d'outputs homogenis en què s'ha classificat l'economia catalana.

Amb tot, ha estat necessari recórrer a les dades de les taules d'origen i de destinació de treball intern a 148 branques per completar algunes de les operacions realitzades.

Partint d'aquesta informació, s'ha procedit a reassignar les produccions secundàries i els corresponents consums intermedis seguint el mètode híbrid.

La determinació dels casos en què és d'aplicació una o altra hipòtesi s'ha dut a terme seguint els contrastos economètrics de versemblança definits per Rueda-Cantuche i Ten Raa (2013) per a cadascun dels 82 productes considerats.

L'aplicació d'aquests tests constitueix la principal aportació metodològica en la construcció de la matriu simètrica del MIOC-2011. Abans, però, s'ha realitzat un tractament específic en el cas de les branques d'activitat de naturalesa pública, conegudes també com a branques de no mercat.

4.5.1. Tractament específic de les branques de provisió mixta

Entre les 82 branques d'activitat considerades en el MIOC-2011 comprenen la producció i provisió de béns i serveis molt diversos que es poden trobar en l'economia catalana.

Un cas especialment rellevant és el de les activitats compreses en les branques 69 a 75, que corresponen als serveis de provisió mixta, amb independència que el productor sigui un agent públic o privat.

En aquest bloc s'inclouen els serveis que ofereix l'Administració pública (codi 84 de la CCAE-2009), l'educació en totes les seves tipologies (codis 851-853, 854 i 856), la sanitat (incloent-hi activitats hospitalàries i altres serveis mèdics i odontològics, sota la codificació CCAE 861 i 862) i els serveis socials amb allotjament i sense (87-88).

En el cas de les branques de provisió mixta, un primer aspecte a considerar és que es tracta de sectors d'activitat pels quals no es disposa d'una única font d'informació econòmica estructural que faciliti disposar d'estimacions de les seves principals magnituds de forma integral. A més, la seva naturalesa, totalment o parcialment pública, determina unes fonts d'informació heterogènies i fragmentades.

En conseqüència, es pot apreciar la complexitat que revesteix el tractament de les dades disponibles de les diferents fonts per poder-les consolidar als efectes de la construcció de les matrius bàsiques del MIOC-2011, principalment de la taula d'origen i de la de destinació. El tractament de cadascuna d'aquestes branques ha hagut de ser dissenyat atenent a les seves característiques, així com a les diferents fonts d'informació disponibles.

Un altre aspecte que requereix especial atenció en el tractament de la informació d'aquestes branques és el que fa referència al procés de reassignació de les produccions secundàries que generen i que s'ha dut a terme en base a la informació d'aquestes branques a la taula d'origen.

Així doncs, prendre la informació disponible d'aquestes branques sense tenir en consideració que incorporen diverses produccions secundàries introduiria un biaix en la construcció de la taula simètrica.

Amb la finalitat de reduir aquestes distorsions, abans de construir la matriu híbrida es van reassignar les esmentades produccions secundàries a les branques d'activitat d'on eren productes principals dins la matriu d'origen.

Això es va poder fer gràcies a la disponibilitat de la informació com a resultat del procés de construcció de les taules d'origen i de destinació, transferint posteriorment els corresponents consums intermedis dins la taula de destinació.

En conseqüència, la construcció de la matriu híbrida del MIOC-2011 s'ha dut a terme en base a les taules d'origen i de destinació modificades amb les reassignacions esmentades.

4.5.2. La construcció de la matriu híbrida

L'existència de produccions secundàries en la matriu d'origen d'un marc input-output fa necessària la transferència d'aquestes unitats de béns i serveis a aquelles branques de les quals serien els outputs principals.

Com s'ha comentat anteriorment, aquest exercici requereix utilitzar informació complementària de caire econòmic i tècnic que faciliti aquest procés de transferència.

Sovint, però, com que no es disposa de la informació necessària per dur a terme aquest procés, cal adoptar hipòtesis sobre la tecnologia de producció de cada bé i servei de l'economia, en el context de taules producte per producte.

D'aquesta manera, es dividirà la matriu d'origen en dues parts:

1. Una part recollirà les produccions d'aquells béns i serveis que, per les seves especificitats, es produeixen sempre amb la mateixa estructura de consums intermedis (hipòtesi de tecnologia de producte).
2. L'altra part recollirà aquells productes que es generen sempre seguint la tecnologia de la branca d'activitat de la qual són producció principal (hipòtesi de tecnologia de branca).

El resultat d'aquest procés serà la construcció d'una matriu híbrida, element fonamental per al còmput de la matriu simètrica de l'economia.

D'acord amb la metodologia d'Eurostat (2008), el càlcul de la matriu híbrida suposa un punt intermedi entre els casos extrems en els quals se suposi que tots els productes es generen de la mateixa manera amb independència de la branca que els elabori i el cas en què tots els outputs es produeixin segons l'estructura de consums intermedis de la branca de la qual són originàries.

Així, el mètode híbrid de construcció de la matriu simètrica input-output d'una economia implica haver de decidir per a cadascun dels productes en què s'hagi sectoritzat l'economia quina és la hipòtesi tecnològica més adient en cada cas.

Generalment, les decisions sobre la hipòtesi tecnològica més adient s'han adoptat en base a criteris tècnics determinats discrecionalment.

4.6. Els contrastos de versemblança de la tecnologia de producció

• 4.6.1. Contrast de la hipòtesi de tecnologia de producte
• 4.6.2. Contrast de la hipòtesi de tecnologia de branca
• 4.6.3. Resultats de la comparació dels contrastos d'hipòtesis de tecnologia de producció

L'Idescat ha emprat per primer cop en l'estadística oficial una nova aproximació economètrica l'ús de la qual facilita l'adopció de la hipòtesi tecnològica a aplicar en cadascun dels 82 tipus de béns i serveis considerats en el MIOC-2011: el dels contrastos de versemblança de Rueda-Cantuche i Ten Raa (2013).

El punt de partida d'aquest mètode són els coeficients de la taula input-output producte per producte, que es poden definir de forma genèrica mitjançant l'expressió 1:

On a_ij és la quantitat de producte i emprat per la branca j, a_ijk és la quantitat de producte i emprat per la branca j en la producció d'una unitat del bé k, u_ij és la quantitat de l'input i consumida per la branca j i v_jk, per exemple, seria la producció de k que ha generat la branca j.

Intuïtivament, el que es proposa dur a terme és restar als coeficients originals els consums de l'input i que no s'hagin emprat per la producció principal de la branca j considerada i sumar-li els consums intermedis que van fer les altres k branques (diferents de j) de l'input i per produir el bé j de forma secundària.

Per calcular els coeficients de l'expressió 1, s'establiran hipòtesis sobre la tecnologia de producció de cadascun dels béns i serveis de l'economia.

4.6.1. Contrast de la hipòtesi de tecnologia de producte

Amb la hipòtesi de tecnologia de producte, tots els béns i serveis tindrien una única estructura d'inputs amb independència de la branca d'activitat que els fabriqués; és a dir, s'acompliria la següent condició en l'expressió 2 :

(per a tot j)

Si se substitueix l'expressió 2 en 1 s'obtindrà l'expressió 3:

corresponent a la fórmula de la tecnologia de producte, segons Rueda-Cantuche i Ten Raa (2009)

En termes analítics, la formulació de la hipòtesi de tecnologia de producte vindria donada per l'expressió 4:

(per a tot j=1,2,...,n)

Així, si es verifica que per a cadascuna de les j branques d'activitat el coeficient input-output que assenyala l'ús de l'input i per produir el bé k és idèntic, llavors s'acompleix la hipòtesi nul·la de tecnologia de producte en el cas de l'output k.

En altres paraules, sota la hipòtesi nul·la es podria afirmar que la producció del bé k (per exemple, carn) a partir de l'input i (per exemple, productes de la ramaderia) es durà a terme de la mateixa manera amb independència de quina sigui la branca d'activitat que estigui produint carn.

Un cop definida aquesta hipòtesi nul·la, el procediment de contrastació és molt similar a l'aplicació d'un test de Chow de canvi estructural, i es duu a terme mitjançant un test F (Gujarati, 2003), on aquest estadístic es computarà d'acord amb l'expressió 5:

On RSS_c és la suma dels residus quadrats de la regressió dels errors sobre els inputs sota la hipòtesi nul·la de la tecnologia de producte (expressió 4) i (RSS₁ + RSS₂ + ... + RSS_n) és la suma dels residus quadrats de les regressions dels errors sobre els inputs suposant la hipòtesi alternativa, segons la qual cadascun dels béns k es produiria de forma diferent (requeriria uns consums diferents dels i inputs) en funció de la branca j que l'està produint.

Els graus de llibertat d'aquesta F, que seran fonamentals per determinar la seva significació estadística, són (n − 1), en què n és el nombre de branques d'activitat que produeixen el bé k pel qual contrastem la hipòtesi de tecnologia de producte, i (r − n), que és la diferència entre el nombre d'empreses i el nombre de branques que produeixen el bé k analitzat.

Per construir aquest estadístic és imprescindible que el nombre d'empreses considerades sigui superior al nombre d'inputs per garantir graus de llibertat positiu en les regressions economètriques.

En conseqüència, serà determinant disposar d'una mostra suficientment gran i amb un nombre de branques d'activitat que produeixin el bé objecte d'anàlisi superior a la unitat. Altrament no es disposarà de graus de llibertat suficients per contrastar la hipòtesi de tecnologia de producte.

Un aspecte a tenir present és que el contrast d'aquesta hipòtesi s'ha dut a terme per a cadascun dels k productes definits en l'economia (un total de 82 en el cas de la MIOC-2011) i per a cadascun dels i inputs emprats en la producció d'aquest bé. En cada cas s'ha tingut en consideració cadascuna de les j branques que fabriquen el referit output i considerant el conjunt d'empreses que generen el producte dins la mostra.

En la mesura en què acceptem la hipòtesi nul·la en la major part dels inputs estarem en condicions de poder acceptar la hipòtesi de tecnologia de producte pel bé o servei considerat, en base a la ràtio ponderada del nombre d'inputs acceptats sobre el total d'inputs emprats.

Els pesos emprats es correspondrien, en tot cas, a l'estructura de consums intermedis de les empreses de la mostra que produeixin el bé k, amb independència de la branca a la qual pertanyin.

En aquest punt, convé assenyalar que els resultats d'aquest contrast d'hipòtesi no són suficients, per ells mateixos, per determinar quin és el supòsit més adient a aplicar en el cas de cadascun dels béns i serveis de l'economia pel que fa a la seva tecnologia de producció.

Dit d'una altra manera, cal complementar els resultats dels tests F obtinguts en el contrast de la hipòtesi de tecnologia de producte amb els obtinguts en el test de la hipòtesi de tecnologia de branca. La decisió final dependrà de la major versemblança d'un o altre supòsit en tots dos contrastos.

Si no és possible el còmput d'ambdós contrastos, les conclusions que es puguin extraure d'un sol dels dos tests no serien prou concloents. Per tant, caldria atenir-se a altres criteris d'informació disponible per prendre la decisió corresponent per construir la matriu híbrida.

4.6.2. Contrast de la hipòtesi de tecnologia de branca

La hipòtesi de tecnologia de branca estableix que cada branca d'activitat té la seva pròpia estructura d'inputs amb independència de la combinació de productes que generi. Així doncs, sota aquesta hipòtesi s'hauria de complir el següent (expressió 6):

(per a tot k)

De manera que substituint l'expressió 6 en 1 s'obté la fórmula de la hipòtesi de tecnologia de branca (expressió 7):

El fonament del mètode economètric seguit es basa a afegir un terme de pertorbació en les expressions 3 i 7 i estimar-lo economètricament contra els coeficients input-output seguint l'aproximació de Mattey i Ten Raa (1997) per poder contrastar la versemblança de les hipòtesis mitjançant tests F en cada cas, respectivament.

Les dades emprades per realitzar les estimacions seran les de les empreses de la mostra, les quals pertanyen a una submostra definida per la seva branca d'activitat.

Així, la hipòtesi de tecnologia de producte es veurà confirmada si els coeficients dels inputs són iguals per a cadascuna de les submostres en l'output específic que s'estigui analitzant.

D'acord amb Rueda-Cantuche i Ten Raa (2013), la imposició d'aquesta igualtat incrementarà les sumes dels residus quadrats i aquest increment quedarà recollit per l'estadístic F. Quelcom semblant s'haurà de fer per testar la hipòtesi de tecnologia de branca, amb les corresponents adaptacions.

Tenint en consideració els aspectes anteriors, el supòsit de tecnologia de branca requereix la definició de la següent hipòtesi nul·la com a punt de sortida (expressió 8):

(per a tot k=1, 2, ..., m_s)

Com es pot apreciar, sota aquesta hipòtesi la producció de qualsevol bé secundari en la branca j es duria a terme amb la mateixa estructura de consums d'inputs intermedis i sigui quin sigui l'output secundari k a què ens referim.

D'aquesta manera, un cop definida la hipòtesi nul·la de tecnologia de branca, la següent etapa consisteix a estimar economètricament l'ús de cadascun dels i inputs fet per les empreses que formen part de la branca j en els seus outputs principal i secundaris, per construir un test F semblant al que en econometria estàndard és emprat per contrastar la igualtat dels coeficients de regressió d'una forma flexible.

L'expressió resultant (expressió 9):

és l'estadístic F, amb el qual es contrastarà la hipòtesi nul·la que s'ha definit a l'expressió 8

On X és la matriu de variables explicatives (l'output de la branca j per tipus de producte, en columnes), RSS és la suma dels quadrats ordinaris dels residus i R, r i β es poden expressar com (expressió 10):

Els graus de llibertat de l'estadístic F construït a l'expressió 9 venen definits pel nombre d'equacions independents de la hipòtesi nul·la. És a dir, el nombre de produccions secundàries de la branca j menys u (ms − 1) i el nombre d'empreses de la branca j menys el nombre de produccions secundàries d'aquesta.

Per tant, el càlcul d'aquest estadístic requereix disposar d'un nombre de produccions secundàries superior a la unitat, així com una mostra d'empreses per a cadascuna de les j branques superior al nombre de produccions secundàries, ja que altrament no es podria computar.

En els casos en què es donin ambdues condicions, es podrà computar l'estadístic F, que permetrà contrastar la hipòtesi d'igualtat dels coeficients de regressió i, per tant, saber si els requeriments de l'input i són independents del producte que estigui generant la branca j.

En la mesura en què acceptem la hipòtesi nul·la en la major part dels inputs estarem en condicions de poder acceptar la hipòtesi de tecnologia de producte pel bé o servei considerat, en base a la ràtio ponderada del nombre d'inputs acceptats sobre el total d'inputs emprats.

En aquest cas, els pesos emprats es corresponen a les estructures d'inputs de les empreses de la corresponent branca j.

4.6.3. Resultats de la comparació dels contrastos d'hipòtesis de tecnologia de producció

Un aspecte rellevant que convé tenir present sobre el còmput dels dos estadístics F per al contrast de les hipòtesis nul·les de les expressions 4 i 8 és que només és possible realitzar-lo partint de les dades d'inputs i de produccions a nivell d'empreses i partint d'aquestes informacions a preus bàsics.

A més, és important recordar que els resultats que s'obtinguin (i, per tant, la seva significació en termes estadístics, dada rellevant a efectes de construir la taula simètrica) depèn en gran mesura del nivell d'agregació de les branques d'activitat (i, per tant, dels productes homogenis que s'hagin definit), i que els valors de les F obtingudes depenen molt de les dades emprades en els còmputs.

En altres paraules, l'absència d'homogeneïtat en la classificació de les activitats esbiaixa les regions d'acceptació o rebuig de les hipòtesis nul·les, i generalment ho fa a favor de la hipòtesi de tecnologia de branca.

Un cop es disposa de la informació oferta pels tests F d'ambdues hipòtesis tecnològiques, la decisió final vindrà donada pel resultat combinat d'ambdós estadístics. Així doncs, els valors de les F calculades ens indicaran, per exemple, la versemblança que la hipòtesi de tecnologia de producte (o de branca) sigui la que caldria aplicar al producte k que s'estigui considerant (o bé a la branca j, en les seves diferents produccions).

De les 82 branques considerades en el MIOC-2011, s'ha pogut calcular ambdós contrastos d'hipòtesis per 40 branques: en 34 casos s'obtenen uns resultats que semblen indicar més versemblança de la hipòtesi de producte, mentre que en els 6 restants els tests F semblen assenyalar més probabilitat de tecnologia de branca.

Per definir la hipòtesi tecnològica aplicable a la resta de branques ha estat necessari recórrer a d'altres informacions tècniques que permetin identificar el supòsit més plausible de comportament per poder dur a terme la construcció de la matriu simètrica.

En aquest sentit, convé tenir present que els contrastos economètrics han de ser emprats com una eina addicional a l'anàlisi tècnica i econòmica que ha de conduir el procés de construcció de la matriu simètrica. En els casos dubtosos, s'ha optat per aplicar la hipòtesi de producte per les seves propietats desitjables en termes d'una posterior anàlisi d'impactes econòmics, seguint les recomanacions d'Eurostat (2008).

4.7. El tractament dels negatius en la taula simètrica

Un cop classificades les diferents activitats segons la hipòtesi tecnològica més versemblant, s'ha construït la matriu híbrida, seguint les orientacions d'Eurostat (2008). Seguidament, s'ha construït la matriu simètrica input-output d'acord amb el mètode híbrid.

L'aplicació d'aquesta metodologia mixta no ha evitat que sorgeixin valors negatius en alguns dels coeficients de la matriu simètrica estimada, els quals han hagut de ser tractats.

Així, en els supòsits en què els valors negatius obtinguts han estat d'una dimensió econòmicament rellevant, s'ha realitzat una correcció cas per cas analitzant les produccions secundàries la reassignació de les quals ha comportat, com a resultat, una transferència de consums intermedis que ha derivat en aquests valors.

No obstant això, en el cas del MIOC-2011, el pes d'aquests valors respecte del total ha estat moderat i han estat en tot moment casos molt localitzats.

Pel que fa a aquells valors negatius de menor magnitud, s'hi ha aplicat una variant del mètode GRAS.

El mètode GRAS, proposat inicialment per Günlük-Senesen i Bates (1988) i formalitzat més recentment per Junius i Oosterhaven (2003), és una tècnica biproporcional freqüentment emprada per equilibrar i actualitzar matrius input-output amb elements positius i negatius per la seva facilitat en la implementació pràctica en termes de programació.

La utilització d'una solució de tipus GRAS simplificada ha permès eliminar els valors negatius i garantir la coherència econòmica de les dades finalment considerades en la matriu simètrica input-output.

4.8. Procediment matemàtic de càlcul d'una matriu híbrida

El procés de transferència de produccions secundàries i consums intermedis des de les branques d'activitat productores fins a aquelles branques d'on són producció principal pot expressar-se en termes d'operacions matricials que després es poden introduir en el programari estadístic corresponent per procedir al seu còmput.

Si es vol construir una taula simètrica input-output producte per producte, s'haurà de partir de les taules d'origen i de destinació a preus bàsics:

On:

• Vt és la producció a preus bàsics de la branca d'activitat per producte. Constitueix la part central de la taula d'origen quadrada a preus bàsics.
• U són els consums intermedis a preus bàsics de la branca d'activitat per producte. Constitueix la part central de la taula de destinació a preus bàsics.
• W és la submatriu que conté els components del valor afegit brut per branca d'activitat. En concret, és la submatriu de la taula de destinació quadrada a preus bàsics.

Llavors, es podrà definir H, que serà la matriu híbrida de zeros i uns que indicarà el tipus d'hipòtesi que es desitja emprar per transferir les corresponents produccions secundàries.

Partint de la matriu H i de les taules d'origen i de destinació, es podran computar:

• La matriu S, que serà la part central de la taula simètrica de consums intermedis a preus bàsics producte per producte.
• La matriu E, que contindrà les files corresponents als components del valor afegit brut per productes homogenis.

Seguint el model suggerit per Eurostat (2008), la construcció de les matrius S i E per construir la taula simètrica requereix fer les següents operacions:

• V1 = (Vt × H)^t, on V1 defineix la part de la taula d'origen on s'aplica la hipòtesi de tecnologia de producte.
• V2 = V − V1 , on V2 és la part de la taula d'origen on s'aplica la hipòtesi de tecnologia de branca.
• C1 = V1t × inv[diag(g1)], on C1 són les contribucions de cada producte a la producció total de la branca.
• D2 = V2 × inv[diag(q)], on D2 són les contribucions de cada branca a l'oferta total del producte.
• R = inv(C1) × [I-diag(D2t × i)] + D2, on R és la matriu de transformació sota la hipòtesi mixta (tecnologia de branca combinada amb tecnologia de producte).
• Z = U × inv[diag(g)], on Z és la relació entre els consums intermedis i la producció per branca d'activitat.
• S = Z × R × diag(q), on S és la matriu de consums intermedis a preus bàsics producte per producte.
• L = W × inv[diag(g)], on L és la relació entre el valor afegit i la producció per branca d'activitat.
• E = L × R × diag(q), on E és la matriu de components del valor afegit producte per producte.

Com es pot comprovar, la correcta realització dels càlculs anteriors permetrà obtenir una taula simètrica input-output que contindrà, entre d'altres, un vector fila (gt) amb l'oferta total de l'economia (la continguda a la taula d'origen), i un vector columna (q) amb la demanda total a preus bàsics (la mateixa que apareixia a la taula de destinació). Per tant, reproduirà l'equilibri oferta-demanda de l'economia.

• 
•